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關(guān)鍵詞：小波變換；多分辨率分析；消噪；Matlab
在通信及計算機過程控制系統(tǒng)中，對信號進(jìn)行實時采樣是很重要的環(huán)節(jié)。但由于信號在激勵、傳輸和檢測過程中，可能不同程度地受到隨機噪聲的污染，特別在小信號采集和測量中，噪聲干擾顯得尤其嚴(yán)重。因此，如何消除實際信號中的噪聲，從混有噪聲的信號中提取有用信息一直是信息學(xué)科研究的焦點之一。傅里葉變換是一種經(jīng)典方法，適用于諸多場合。但由于傅里葉變換是一種全局變換，無法表述信號的時域局部性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了更有效地處理非平穩(wěn)信號，人們提出了小波變換這種新的信號分析理論。小波變換是一種信號的時頻分析，他具有多分辨率的特點，可以方便地從混有強噪聲的信號中提取原始信號，被譽為分析信號的顯微鏡。本文主要討論應(yīng)用小波變換的理論，利用Matlab軟件在計算機上實現(xiàn)了信號的噪聲消除，從混有噪聲的實際信號中提取了原始信號，具有非常實用的意義。
1小波變換與多分辨率分析
設(shè)Ψ是定義在（-∞,+∞）上能量有限的函數(shù)，Ψ構(gòu)成平方可積信號空間，記為Ψ∈L2(R)，則生成函數(shù)族{Ψab}：
Ψ(t)稱為小波函數(shù)，Ψab(t)由Ψ(t)伸縮和平移生成，為小波基函數(shù)。a為伸縮因子，b為平移因子。對任一信號f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換可定義為信號與小波基函數(shù)的內(nèi)積：
連續(xù)小波變換具有線性、平移不變性、伸縮共變性、自相似性和冗余性等重要性質(zhì)。
在工程上利用小波變換對信號進(jìn)行處理，應(yīng)用最廣泛的是二進(jìn)小波變換，即取a=2j，b=k·2j，則f(t)的二進(jìn)小波變換為：
二進(jìn)小波對尺度參數(shù)進(jìn)行離散化，而對時間域上的平移參量保持連續(xù)變化，不破壞信號在時間域上的平移變量。
1988年，Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨特性。將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波變換的快速算法，即Mallat算法。
若fk為信號的離散采樣數(shù)據(jù)，如果Ｃ0,k=fk，則有：
N為離散采樣數(shù)據(jù)；h,g為濾波器脈沖響應(yīng)，即分解各列濾波器組系數(shù)；C J,k為信號的逼近系數(shù)；CJ,k·fk為fk在2j分辨率下的連續(xù)逼近；DJ,k為信號的細(xì)節(jié)系數(shù)；DJ,k·fk為fk在2j分辨率下的離散細(xì)節(jié)。信號的Mallat重構(gòu)算法為：
濾波器的脈沖響應(yīng)，即重構(gòu)各濾波器組系數(shù)。
Mallat算法使離散的采樣信號通過低通濾波器H后得逼近原始信號的數(shù)據(jù)；通過高通濾波器G后得信號邊緣細(xì)節(jié)信息的數(shù)據(jù)，所以小波變換的實質(zhì)是濾波運算。隨著小波變換尺度的增加可以將原始信號邊緣和噪聲產(chǎn)生的毛刺逐漸平滑掉，細(xì)節(jié)信息由噪聲占主導(dǎo)地位逐漸轉(zhuǎn)為信號占主導(dǎo)地位。我們期望這種濾波器產(chǎn)生的相對失真盡可能小，是提取突變信號特征的關(guān)鍵。
2小波消噪的基本原理及方法
運用小波分析進(jìn)行信號噪聲消除是小波分析的一個非常重要的應(yīng)用之一。
一個含噪聲的一維信號的模型可表示為：
式中，f(i)為真實信號；e(i)為噪聲；s(i)為含噪信號。這里以一個簡單的噪聲模型加以說明，即e(i)為高斯白噪聲N（0，1），噪聲級為1。在實際工程中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或較平穩(wěn)的信號，噪聲信號則表現(xiàn)為高頻信號，所以消噪過程可按以下方法進(jìn)行處理。
首先對實際信號進(jìn)行小波分解，選擇小波并確定分解層次為N，則噪聲部分通常包含在高頻中。然后對小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行門限閾值量化處理。最后根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和經(jīng)過量化后的1～N層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，達(dá)到消除噪聲的目的，即抑制信號的噪聲，在實際信號中恢復(fù)真實信號。
小波消噪的方法一般有3種：
強制消噪處理該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻部分全變成零，即把高頻部分全部消除，再對信號進(jìn)行重構(gòu)。此方法簡單，消噪后信號也比較平滑，但易丟失有用信號。
默認(rèn)閾值消噪處理在Matlab中利用ddencmp函數(shù)產(chǎn)生信號默認(rèn)閾值，然后利用wdencmp函數(shù)進(jìn)行消噪處理。
給定軟或硬閾值消噪處理在實際消噪處理過程中，閾值可通過經(jīng)驗公式獲得，而且這種閾值比默認(rèn)閾值更具可信度。
3小波消噪的Matlab實現(xiàn)
Matlab軟件是Mathwork公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計算可視化軟件。他解決實際的工程和數(shù)學(xué)問題和實現(xiàn)小波消噪的仿真。下面給定一個含噪聲的正弦信號，利用小波對信號的高頻部分進(jìn)行抑制。Matlab實現(xiàn)的程序框圖如圖1所示。
根據(jù)程序框圖，通過Matlab編制程序并運行，可以得到如圖2所示結(jié)果。
圖2中，在小波抑制后的信號中對應(yīng)t=500處的尖峰是人為添加的，是為了說明小波系數(shù)調(diào)節(jié)的方便有效。圖2中正弦信號所含的噪聲是一個白噪聲，但實際的噪聲大多不是白噪聲。下面把采自海上的真實噪聲縮小200倍疊加到一個正弦信號上，再利用同樣的方法進(jìn)行處理，得到如圖3和圖4所示的結(jié)果，可以看到利用小波抑制真實噪聲仍有不錯的效果。
小波消噪對非平穩(wěn)信號的噪聲消除具有無可比擬的優(yōu)點。在實際工程應(yīng)用中，所分析的信號可能包含許多尖峰或突變部分，且噪聲不是平穩(wěn)的白噪聲，對這種信號進(jìn)行分析處理，首先要做預(yù)處理，將噪聲去除，提取有用信號。對于這種信號的消噪，傳統(tǒng)的Fourior分析顯得無能為力。因為Fourior分析是將信號變換到頻域中進(jìn)行分析，不能給出信號在某 個時間點的變化情況，因此信號在時軸上的任一突變都會影響信號的整個頻譜。而小波分析由于能同時在時頻域中對信號進(jìn)行分析，所以他能有效區(qū)別信號中的突變部分和噪聲，從而實現(xiàn)非平穩(wěn)信號的消噪。圖5、圖6是一個原始矩形信號和一個含噪聲的矩形信號，分別用小波消噪和Fourior變換的消噪方法對含噪信號進(jìn)行處理，得到圖7和圖8所示的結(jié)果。
從上面的圖中可以看出，用小波進(jìn)行信號的消噪可以很好地保留有用信號中的尖峰和突變部分。而用Fourior分析進(jìn)行濾波時，由于信號集中在低頻部分，噪聲分布在高頻部分，所以用低通濾波器進(jìn)行濾波。但是他不能將有用信號的高頻部分和由噪聲引起的高頻干擾有效區(qū)分。若低通濾波器太窄，則濾波后信號中仍存在大量噪聲；若低通濾波器太寬，則將一部分有用信號當(dāng)作噪聲濾除了。因此小波分析方法對非平穩(wěn)信號的消噪比Fourior分析更加優(yōu)越。
4結(jié)語
小波變換是一種信號的時頻分析方法，他具有多分辨率分析的特點，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反�，F(xiàn)象并展示其成分，有效區(qū)分信號中的突變部分和噪聲。因此利用小波變換進(jìn)行信號消除的同時提取含噪信號明顯好于傳統(tǒng)的Fourior變換的分析方法。通過M atlab編制程序進(jìn)行給定信號的噪聲抑制和非平穩(wěn)信號的噪聲消除實驗表明：基于小波變換的消噪方法是一種提取有用信號、展示噪聲和突變信號的優(yōu)越方法，具有廣闊的實用價值。
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